Una variable aleatoria (v.a.) es una función que asigna un número real a cada resultado de un espacio muestra.
Por lo regular se acostumbra representar la variable con las letras mayúsculas "X","Y","Z"; y los posibles valores que pueden tomar las variables con letras minúsculas x, y, z.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas.
En la carrera de Ingeniería Industrial estas variables tienen una gran función, ya que nos permiten obtener datos probabilísticos y estadísticos de la funcionalidad de una empresa, fábrica, etc., por ejemplo el saber la probabilidad que tenemos de que algunos de nuestros productos por lote salga defectuoso y sea adquirido por el consumidor, los diferentes caminos que podemos para llegar a un objetivo, estimar valores que pueden ser de ganancias o pérdidas, etc.
Variable Aleatoria Discreta
Estas variables solamente pueden tomar un número finito o infinito contable de valores.
Ejemplo:
1.- El sistema hidráulico de una fàbrica de tornillos fluye a través de 3 válvulas del punto A al punto B, el funcionamiento de cada válvula es independiente. Cada válvula se abre mediante una señal, con una probabilidad de 0.8, 0.9, 0.85. Interesa el número de vías por el cual puede circular el agua del punto A al punto B.
Como primer paso definiremos nuestra variable aleatoria.
"X"= # de válvulas por las cuales fluye el agua.
Los valores que puede tomar x = 0, 1, 2; debido a que son 2 válvulas las que tenemos y el agua puede fluir por las dos (2), por una (1) o por ninguna (0).
El siguiente paso es calcular la probabilidad de cada uno de estos valores, considerando todas las variables con el valor de la variable aleatoria que estamos analizando.
Se describen cada una de las diferentes posibilidades, dependiendo de cada valor:
A) No hay ninguna válvula abierta:
1.- La válvula I está cerrada, la válvula II está cerrada y la válvula III está cerrada.
2.- La válvula I está cerrada, la válvula II está cerrada y la válvula III está abierta.
3.- La válvula I está cerrada, la válvula II está abierta y la válvula III está cerrada.
Entonces:
P(x=0) = (0.2)(0.1)(0.15) + (0.2)(0.1)(0.85) + (0.2) (0.9)(0.15)
P(x=0) = 0.003 + 0.017 + 0.027
P(x=0)= 0.047 esto representa la probabilidad de que el agua no fluya por ninguna de las 2 válvulas.
B) Hay una válvula abierta:
1.- La válvula I está abierta, la válvula II está cerrada y la válvula III está cerrada.
2.- La válvula I está abierta, la válvula II está cerrada y la válvula III está abierta.
3.- La válvula I está abierta, la válvula II está abierta y la válvula III está cerrada.
4.- La válvula I está cerrada, la válvula II está abierta y la válvula III está abierta.
Entonces
P(x=1) = (0.8)(0.1)(0.15) + (0.8)(0.1)(0.85) + (0.8)(0.9)(0.15) + (0.2)(0.9)(0.85)
P(x=1) = 0.012 + 0.068 + 0.108 + 0.153= 0.341
P(x=1)= 0.341 esto representa la probabilidad de que el agua fluya por una de las 2 válvulas.
C) Hay dos válvulas abiertas:
1.- La válvula I está abierta, la válvula II está abierta y la válvula III está abierta.
Entonces
P(x=2) = (0.8)(0.9)(0.85)
P(x=1)= 0.612 esto representa la probabilidad de que el agua fluya por las 2 válvulas.
Nota: la suma de las probabilidades debe dar igual a 1.
Al obtener las probabilidades para cada valor que puede tomar x podemos obtener nuestra distribución de probabilidad o función de probabilidad que va a ser una tabla o fórmula que asocie con cada valor de una variable aleatoria y su probabilidad respectiva.
La siguiente tabla es la función de probabilidad de nuestro problema:
Función de probabilidad
X=x | 0 | 1 | 2 |
P(X=x | 0.047 | 0.341 | 0.612 |
Tabla 1.1
El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función de probabilidad, función masa de probabilidad o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible x. 1.- f(x) ≥ 0. 3.- P(X = x) = f(x). 2.-∑ f(x) = 1. |
De la tabla de función de probabilidad podemos obtener la Función de Distribuciòn Acumulada, donde X es una variable aleatoria con función de probabilidad f(x), entonces F(x), es la función escalonada:
La siguiente tabla muestra la Función de Distribuciòn Acumulada de nuestro ejemplo 1:
Función de Distribución Acumulada
X | P(X) | F(X) |
0 | 0.047 | 0 + 0.047= 0.047 |
1 | 0.341 | 0.047 + 0.341= 0.388 |
2 | 0.612 | 0.388 + 0.612= 1 |
NOTA: Se dice que es acumulada, por que el resultado de la función se le suma al siguiente valor hasta llegar al máximo valor de la función que es 1.
VARIANZA DE V.A.D
La varianza o variancia está representada por V(x) ó σ² con función de probabilidad P(x) por:
V(x)= ∑(x-µ)² p(x)
Como la varianza este definida en términos del valor esperado, se obtienen las siguientes propiedades.
- V(a)= 0 aϵR
- V(x+a)= V(x) aϵR
- V(ax)= a²V(x) aϵR
- V(x+y)= V(x) + V(y) aϵR
De los valores de x, µ, y p(x), del ejemplo 1, obtendremos el valor de la varianza.
V(x) = ∑(x-µ)² p(x)
V(x) = ((0-1.565)²*0.047) + ((1-1.565)²*0.341) + ((2-1.565)²*0.612)
V(x) = 0.1151 + 0.1089 + 0.1158
V(x) = 0.3398
NOTA: la varianza se obtuvo de la resta de el posible valor x menos la media elevado al cuadrado y después multiplicando el resultado por su probabilidad correspondiente.
VALOR ESPERADO Ó MEDIA DE V.A.D.
La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta X, con una función de probabilidad p(x) y h(x) se define como:
Si h(x)=x, la esperanza o valor esperado de la variable aleatoria X, con funciòn de probabilidad P(x), se representa por E(x) y està dada por:
La esperanza de x es conocida como la o media poblacional se da si p(x) representa la distribución de frecuencias de la población, denotándose como:
E(x)=µ
µ= ∑x p(x)
Se pueden obtener las siguientes propiedades:
* E(a)=a, a=cte.
* E(bx)= bE(x), b=cte.
* E(a+x)=a+E(x) a=cte.
Utilizaremos los valores de tabla 1.1 del ejemplo 1 para obtener la media poblacional.
µ= ∑x p(x)
µ= 0(0.047) + 1(0.341) + 2(0.612)
µ= 0 + 0.341 + 1.224
µ= 1.565
NOTA: para obtener la media multiplicamos el posible valor de x por su respectiva probabilidad p(x), cuando obtuvimos los productos, los sumamos y así obtuvimos el valor de la media.
GANANCIA ESPERADA DE V.A.D.
Ganancia Esperada generalmente esta ganancia se utiliza para poder conoces las posibles ganancias o pérdidas en valor monetario, usualmente es aplicada en los juegos de azar.
Se calcula mediante la esperanza matemática y de obtiene multiplicando la cantidad que el jugador espera ganar por la probabilidad de que gane.
Ejemplo:
2.- Un apostador en el hipódromo de las Américas puede lograr una ganancia en cada carrera $40.00 o una pérdida de $10.00 por boleto, las probabilidades de que esto ocurra son 0.60 y 0.40 respectivamente, calcular la ganancia esperada.
X | -10 | 40 |
P(X) | 0.40 | 0.60 |
E(x)= (-10)(0.40) - (40)(0.60)
E(x)= -4 + 24
E(x)= $20.00
NOTA: El signo de menos (-) representa una pérdida, por lo tanto en nuestro ejemplo obtendremos una ganancia de $20.00.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE V.A.D
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer que un Ing. Industrial de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos respectivamente.
Por lo que su media es:
La varianza sería:
Por lo tanto la desviación estándar sería:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
