Una variable aleatoria discreta "X" es absolutamente continua, o simplemente continua, si su función de distribución se puede representar como:
donde la función f(x) tiene las propiedades:
Se deduce que si "X" es una variable aleatoria continua, entonces la probabilidad de que "X" tome cualquier valor particular es cero, mientras que la probabilidad de intervalo de que "X" se encuentre entre 2 valores, por ejemplo a y b está dada por
es decir, es el área bajo la curva de la función f(x) en ese intervalo. Donde:
Función de densidad f.
La probabilidad de un intervalo, es el área que existe entre la función y el eje de abscisas.
Si una función f(x) cumple con las siguientes propiedades.
Se dice que es una función de distribución de probabilidad, conocida como una función de densidad de probabilidad, representada por fdp.
Función de distribución acumulada esta definida por la relación,
La derivada de F(x) es igual f(x):
F(x) es continua para toda "X".
EJEMPLO 1: Si un individuo se selecciona al azar de un grupo grande de hombres adultos, la probabilidad de que su estatura "X" sea precisamente 108 cm (es decir 180.000... centímetros) es cero. Sin embargo, hay una probabilidad mayor que 0 de que "X" se encuentre entre 175.000 centímetros y 180.500 centímetros, por ejemplo.
Una función de f(x) que satisfaga las necesidades anteriores se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad, para una variable aleatoria continua, pero con mayor frecuencia se denomina función de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad. Cualquier función f(x) que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 será automáticamente una función de densidad, y las probabilidades requeridas se obtendrán a partir de (8)
EJEMPLO 2.
Sea "X" una variable aleatoria continua, su función de densidad esta definida por:
Probar que es una función de densidad.
Paso 1: Se tiene que probar que la función sea mayor o igual a 0.
Paso 2: Integrar la función tomando en cuenta que v.a.c. toma los valores de 4 a 5, el resultado tiene que ser igual a 1.
Valor Esperado o Media de la v.a.c
La media (µ) también llamada esperanza matemática es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria "X".
Lo podemos imaginar como el eje del punto de las abscisas donde al colocar una cuña a la figura plana definida por la función de densidad quedara en equilibrio.
Lo podemos imaginar como el eje del punto de las abscisas donde al colocar una cuña a la figura plana definida por la función de densidad quedara en equilibrio.
Una interpretación de la media o valor promedio de una distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua X, es el valor de la distribución que se espera obtener una vez que el experimento se ha efectuado un número grande de veces, se define:
Ejemplo: Sea "X" una variable aleatoria continua, cuya función esta dada por;
Obtener el valor esperado o media.
Paso 1: Sustituimos la función en la ecuación de la media.
Nota: Los limites son de 2 a 3 en la primera parte de la función y los valores de 3 a 4 para la segunda.
Se realiza la multiplicación antes de integrar.
Paso 2: Integra la función.
Paso 3: Sustituir los valores de los limites en x.
Paso 4: Realizar las operaciones correspondientes.
el resultado que se obtiene es:
Varianza de la v.a.c.
La varianza de la v.a.c es una medida de dispersión de los valores que toma la variable aleatoria respecto de la media, como ocurre con las variables estadísticas. La varianza será mas pequeña o mas grande según la gráfica de la función de densidad, sera más estrecha o más ancha con respecto a la media.
La varianza proporciona información de como se distribuyen con respecto a la media los valores o resultados de la variable aleatoria, se denota V(x).
Se define por:
Pero como 
Ejemplo: Sea "X" una variable aleatoria continua, cuya función de densidad esta definida por:
con una µ= 14/3, obtener la varianza de la función.
Paso 1: utilizando nuestra formula V(x) = E(x²) - µ², sustituiremos valores, pero como aún no tenemos el valor de E(x²) se obtiene integrando la función, donde al principio (x²) multiplica a la función como se observa a continuación:
Paso 2: Integrar la función:
Paso 3:Sustituimos el valor de los limites en x:
Paso 4: Realizar las operaciones correspondientes:
El resultado que se obtiene es:
