Variables Aleatorias Continuas

Una variable aleatoria no discreta X es absolutamente continua, o simplemente continua, si su función de distribución se puede representar como:

donde la función f(x) tiene las propiedades:








Se deduce que si X es una variable aleatoria continua, entonces la probabilidad de que X tome cualquier valor particular es cero, mientras que la provabilidad de intervalo de que X se encuentre entre 2 valores, por ejemplo a y b está dada por


es decir, es el área bajo la curva de la función f(x) en ese intervalo. Donde:



Figura: Función de densidad f. La probabilidad de un intervalo, es el área que existe entre la función y el eje de abscisas.

Si una función f(x) cumple con las siguientes propiedades.






se dice que es una función de distribución de probabilidad, conocida como una función de densidad de probabilidad, representada por fdp.
Su función de distribucion acumulada esta definida por la relación,



La derivada de F(x) es igual f(x)



F(x) es continua para toda x.




EJEMPLO 1: Si un individuo se selecciona al azar de un grupo grande de hombres adultos, la probabilidad de que su estatura X sea precisamente 108 cm (es decir 180.000... centímetros) es cero. Sin embargo, hay una probabilidad mayor que 0 de que X se encuentre entre 175.000 centímetros y 180.500 centímetros, por ejemplo.

Una función de f(x) que satisfaga las necesidades anteriores se llama función de probabilidad o distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua, pero con mayor frecuencia se denomina función de densidad de probabilidad o simplemente función de densidad. Cualquier función f(x) que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 será automáticamente una función de densidad, y las probabilidades requeridas se obtendrán a partir de (8)

EJEMPLO 2: Sea X una variable aleatoria continua, su funcion de densidad esta definida
Probar que es una funcion de densidad.

Paso 1: Se tiene que probar que la funcion dea mayor o igual a 0.


Paso 2: Integrar la funcion tomando en cuenta que va de 4 a 5, nuestro resultado tiene que ser igual a 1.




VALOR ESPERADO Ó MEDIA DE V.A.C.


La media (µ) también llamada esperanza matemática es un valor representativo de todos los valores que toma la variable aleatoria X.Lo podemos imaginar como el eje del punto de las abscisas donde al poner una cuña a la figura plana definida por la función de densidad quedara en equilibrio.

Una interpretación de la media o valor promedio de una distribución de probabilidades de una variable aleatoria continua X, es el valor de la distribucion que se espera obtener una vez que el experimento se ha efectuado un número grande de veces, se define:




Ejemplo:  Sea X una variable aleatoria continua, cuya funcion esta dada por,
Obtener el valor esperado o media.
Paso 1: Sustituimos la funcion en la ecuacion de la media.

Nota: los limites son de 2 a 3 para la primera ecuacion y de 3 a 4 para la segunda.

Se realiza la multiplicacion antes de integrar.
Paso 2: Integramos la funcion.
Paso 3: Sustituimos los valores de los limites en x.
Paso 4: Realizamos las operaciones.
 el resultado obtenido es:




VARIANZA DE V.A.C

La varianza var es una medida de dispersión de los valores q toma la variable aleatoria respecto de la media .Como ocurre con las variables estadísticas la varianza será mas pequeña o mas grande según la grafica de la función de densidad sea mas estrecha o mas ancha entorno a la media.

La varianza proporciona información de como se distribuyen con respecto a la media los valores o resultados de la variable aleatoria, se denota V(x), Se define:




Pero como 



Ejemplo: Sea X una variable aleatoria continua, cuya funcion de densidad esta definida por:
con una µ=  14/3, obtener la varianza de la funcion.

Paso 1: utilizando nuestra formula V(x)= E(x²) - µ², sustituiremos valores, pero como aun no tenemos el valor de E(x²) lo obtendremos integrando nuestra funcion poniendo al principio x² k multiplicara a la funcion.

Paso 2: Integramos nuestra funcion:
Paso 3:Sustituimos el valor de los limites en x:

Paso 4: Realizamos las operaciones:

Nuestro resultado es:



Noticias

Loading...