Problemario

PROBLEMA RESUELTO

Si una agencia de autos vende 50% de su inventario de cierto vehículo extranjero equipado con bolsas de aire, encuantre una fórmula para la distribución del número de autos con bolsas de aire enre los siguientes 4 vehículos que venda la agencia.

SOLUCIÓN
Como la probabilidad de vender un auto con bolsas de aire es 0.5, los 2⁴= 16 puntos del espacio muestral tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por tanto, el denominador para todas las probabilidades, y también para nuestra función, es 16. Para obtener el número de maneras de vender tres modelos con bolsas de aire, necesitamos considerar el número de formas de dividir 4 resultados en 2 celdas con 3 modelos con bolsas de aire asignadas a una celda, y el modelo sin bolsas de aire asiganado a la otra. Esto puede hacer de  4C₃= 4 formas. En general, el evento de vender x modelos con bolsas de aire y 4 - x modelos sin bolsas de aire puede ocurrir  4Cx formas, donde x puede ser 0, 1, 2, 3, 4. Entonces, la distribución de probabilidad f(x)= P(X=x) es:



* Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria X del ejemplo anterior. Mediante el uso de F(x), verifique que f(2)=3/8

SOLUCIÓN
El cálculo directo de la distribucion de probabilidad del ejemplo anterior da f(0)= 1/16, f(1)=1/4, f(2)= 3/8, f(3)= 1/4, f(4)= 1/16. Por tanto,


De aquí:

Entonces,








PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Sea X la variable aleatoria que indica el producto de los puntos obtenidos al lanzar 2 dados. Encuentre la función de probabilidad.

2.- En un juego de apuestas se le paga a una mujer $3 si saca una sota o una reina y $5 si saca un rey o un as de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta, pierde. ¿Cuánto debe pagar si el juego es justo?.

3.- Un embarque de 7 televisiores contiene 2 defectuosas. Un hotel hace una compra al azar de 3 televisores. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de probabilidad de X.

4.- Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria X que representa el número de unidades defectuosas en el ejercicio 3. Con el uso de F(x).
a) P(X=1)
b) P(0 < x ≤ 2)

5.- Un fabricante deduce de su experiencia anterior que la vida de una determinada bombilla que distribuye normalmente. Ha ensayado una muestra , hallando que la vida media es de 60 días, con una desviación estandar de 16.26 días. ¿Cuantas bombillas de toda la población puede esperar que sigan funcionando después de 100 días ?.

6.- Sea X una variable aleatoria que tiene una distribución binomial; p=2 y n=4. Calcular:
a) P(X=2)
b) E(X)
c) V(X)

7.- Una maquina para llenar cajas no llena por completo una proporción p de ellas. Si se seleccionan al azar 25 cajas de las producidas por esa maquina. Calcula la probabilidad de que haya mas de dos cajas incompletas cuando. 
a) p= 0.1
b) p= 0.2

8.- Al determinar la concentracion letal de una substancia presente en agua contaminada se encuntra que una cierta concentración mata al 20% de los peces que se exponene a ella durante 24 horas. Se colocan 20 peces en un tanque con esta concentración de la substancia. Calcular la probabilidad de que a las 24 horas.
a) Sobrevivan 14 exactamente.
b) Sobrevivan por lo menos 10.
c) Sobrevivan cuando mucho 16.

9.- Las probabilidades de éxito y de fracaso podemos relacionarlas con muchas actividades de la vida diaria. Por ejemplo, cuando nos referimos a un producto defectuoso o no defectuoso, si nos gusto un servicio o no. A los fabricantes de cualquier tipo de producto, en particular, les resulta muy importante conocer la distribución de probabilidad de articulos defectuosos para resolver problemas y para conocer el tiempo en que puede garantizar sus productos.
Un fabricante de chips para tarjetas electrónicas que se usan en computadoras escoge 5 chips, donde la probabilidad de articulos defectuosos es de p= 0.2.
a) ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 2 chips esten defectuosos?
b) ¿Cual es la probabilidad de que a lo mas 2 chips esten defectuosos?
c) ¿Cual es la probabilidad de que 3 o mas chips esten defectuosos?

10.- La probabilidad de exito de una vacuna  contra la gripe es de 0.74. Calcula la probabilidad de que una vez que esta es administrada a 20 personas:
a) Ninguna tenga gripe.
b) Todas contraigan la gripe.
c) Dos de ellas contraigan la gripe.

11.- Una maquina produce suelas para zapato industrial y se sabe que produce un 7 por 1000 suelas defectuosas.
Hallar la probabilidad de que al examinar 50 suelas solo una sea defectuosa.

12.- En estudios realizados por una firma para medir el coeficiente intelectual de las personas que solicitan un empleo, hay una distribución normal con media de 100 y una desviación estandar de 16.
a) ¿Cual es la probabilidad de un coeficiente intelectual mayor a dos desviaciones estandar de la media?
b) ¿Que porcentaje de las personas presenta un coeficiente intelectual superior a 120?
c) ¿Que porcentaje de las personas muestra un coeficiente intelectual  entre 80 y 120?

13.- Supóngase que en el estudiode funcionamiento de un equipo electronico, los resultados de una muestra indican que el tiempo medio entre fallos es de 340 horas. ¿Cual sera la probabilidad de que el tiempo transcurrido entre los fallos sucesivos del equipo sea menor de 100 horas?.

14.- Según un artículo de Transportation Research , de B.E (18A No. 2, 1984, pag 119) el 55% de las empresas estadounidenses dicen que unod elos factores mas importantes para ubicar la oficina matriz de la compañia es la "calidad de vida" para los empleados. Si el gobernador de Florida se entrevista con 5 para tratar acerca de la reubicación posible de este estado, calcular la probabilidad de que por lo menos tres digan que la "calidad de vida" es un factor importante en su decisión. ¿Que hipótesis hizo el lector para llegar a su respuesta?

15.- En Aeronautical Journal (Nov. 1980. pp 279- 280) Goranson y Hall explican que la probabilidad de encontrar un agrieta en el ala de un aeronave es el producto de p1, la probabilidad de que se inspeccione un aeroplano que tenga una grieta en el ala; po p2, la probabilidad de inspeccionar el lugar donde se encuentra la grieta; y por p3, la probabilidad de detectar el daño.
a) ¿Que hipotesis justifica la multiplicación de esas probabilidades?.
b) Suponer que p1= 0.9, p2= 0.8 y p3= 0.5. Para una determinadad flotilla de aviones. Si se revisan tres aviones de la flota, calcular la probabilidad de que descubra una grieta en el ala en al menos uno de los aviones.

16.- En una terminal aérea el tiempo de llegada en promedio entre una unidad y otra es de 40 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran al menos 30 minutos antes de que llegue una unidad? 

17.- Una compañía productora de  bombillos ahorradores de energía garantiza que duran 2 años de en promedio. Si el tiempo de duración sigue una distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad que un bombillo ahorrador de energía dure menos de 1 año?

18.-En la compañía de teléfonos los clientes tienen que hacer cola para pagar su recibo telefónico. El tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una media de 12 minutos. Determinar de que el cliente haga su pago a lo más en 10 minutos, en al menos 8 de los 12 días siguientes.

19.- Un ventilador para mantener el aire acondicionado en una habitación falla en promedio una vez cada 4 años. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente descompostura se produzca, a) a lo más dentro de 20 meses, b) después de 22 meses?

20.- El tiempo de espera de un cliente en la fila de refacciones automotrices para ser atendido, en promedio es de un cliente cada 6 minutos. ¿Calcule la probabilidad de que el tiempo de espera sea menos a 4 minutos?

21.- El tiempo de vida de una bomba de agua, sigue una distribución exponencial,  con un tiempo de vida media de 6 años. ¿Qué probabilidad hay de que 5 bombas de agua en funcionamiento, al menos 3 fallen antes de 3 años?

22.- El tiempo funcional de un motor de motocicleta Yamaha, sigue una distribución exponencial con un tiempo de vida útil de 10 años. ¿Qué probabilidad hay de que 6 motores de la marca Yamaha  en funcionamiento, al menos 8 fallen antes de 5 años?

23.- Una compañía productora de  pilas cuadradas garantiza que duran 2 meses de en promedio. Si el tiempo de duración sigue una distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad que 2 pilas cuadradas duren menos de 1 mes?

24.- El tiempo que tarda en agotarse la carga de una batería de celular, sigue una distribución exponencial,  con un tiempo de  uso de 16 horas. ¿Qué probabilidad hay de que 7 baterías de celular en funcionamiento, al menos 3 fallen antes de 8 horas?

25.- Suponga que el tiempo de vida de un micro chip, , sigue una distribución exponencial, con un tiempo de vida es de 10 meses. ¿Qué probabilidad hay de que 10 micros chips en funcionamiento, al menos 3 fallen antes de 8 meses?

Ejercicios y problemas resueltos de la distribución normal
  • Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?




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2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).
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3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

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  • Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?


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Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.

  • Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110. 
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2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
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3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
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  • En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.
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  • En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

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